Question

20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于點(diǎn)A，B．若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求cos（α-β）的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析 利用任意角的三角函數(shù)的定義求得α、β的正弦值和余弦值，再利用兩角和差的三角公式，求得要求式子的值．

解答 解：因?yàn)殇J角α的終邊與單位圓交于A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
所以，由任意角的三角函數(shù)的定義可知，cosα=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，從而sinα=$\sqrt{1-cos2α}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．     
因?yàn)殁g角β的終邊與單位圓交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
所以sinβ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，從而cosβ=-$\sqrt{1-sin2β}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$．     
（1）cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）+$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．        
（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$×（-$\frac{\sqrt{5}}{5}$）+$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．      
因?yàn)棣翞殇J角，β為鈍角，故α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），所以α+β=$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．