Question

已知以點 M為圓心的圓：（x+1）²+y²=16及定點 N（1，0），點 P是圓 M上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足

NP

=2

NQ

，

GQ

•

NP

=0，令點G的軌跡為C．
（1）求曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與曲線C相交于 A，B兩點，且k_OA•k_OB=-

3

4

，試判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量數(shù)量積的運算

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由

NP =2 NQ GQ • NP =0

，可得GQ是PN的中垂線，可得|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=4＞|MN|=2．由橢圓的圓的可得：點G的軌跡是以 M，N為焦點的橢圓，即可得出；
（2）設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直線與橢圓方程聯(lián)立可得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式可得2m²-4k²=3，再利用弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵

NP =2 NQ GQ • NP =0

，
∴為PN的中點，且GQ⊥PN，
∴GQ是PN的中垂線，
∴|PG|=|GN|，
∴|GM|+|GN|=|GM|+|GP|=4＞|MN|=2．
∴點G的軌跡是以 M，N為焦點的橢圓，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
a=2，c=1，∴b=

a2-c2

=

3

，
∴曲線C的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設(shè) A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²+8mkx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，即3+4k²-m²＞0，
∴x1+x2=-

8mk

3+4k2

，x1•x2=

4(m2-3)

3+4k2

，
y1•y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

3(m2-4k2)

3+4k2

．
kOA•kOB=-

3

4

，即

y1y2

x1x2

=-

3

4

，y1y2=-

3

4

x1x2．
∴

3(m2-4k2)

3+4k2

=-

3

4

•

4(m2-3)

3+4k2

，化簡得2m²-4k²=3，
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

48(4k2-m2+3) (3+4k2)2

=

24(1+k2) 3+4k2

d=

|m|

1+k2

=

m2 1+k2

=

3+4k2 2(1+k2)

．
∴S△AOB=

1

2

|AB|d=

1

2

24(1+k2) 3+4k2 • 3+4k2 2(1+k2)

=

3

，
故△A O B的面積為定值

3

．

點評：本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．