Question

某校從參加某次數(shù)學(xué)能力測試的學(xué)生中中抽查36名學(xué)生，統(tǒng)計了他們的數(shù)學(xué)成績（成績均為整數(shù)且滿分為120分），成績的頻率直方圖如圖所示，
其中成績分組間是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]
（1）在這36名學(xué)生中隨機抽取3名學(xué)生，求同時滿足下列條件的概率：（1）有且僅有1名學(xué)生成績不低于110分；（2）成績在[90，100）內(nèi)至多1名學(xué)生；
（2）在成績是[80，100）內(nèi)的學(xué)生中隨機選取3名學(xué)生進行診斷問卷，設(shè)成績在[90，100）內(nèi)的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX．

Answer 1

考點：離散型隨機變量及其分布列,離散型隨機變量的期望與方差

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求出a的值，計算成績在各分數(shù)段內(nèi)的學(xué)生數(shù)，計算滿足條件的事件的概率即可；
（2）根據(jù)題意得出X的可能取值，計算對應(yīng)的概率，求出X的分布列與數(shù)學(xué)期望即可．

解答： 解：（1）由頻率分布直方圖，得；
10a=1-（

1

120

+

1

60

+

1

40

）×10=

1

2

，
解得a=

1

20

；
∴成績在[80，90）分的學(xué)生有36×

1

120

×10=3人，
成績在[90，100）分的學(xué)生有36×

1

60

×10=6人，
成績在[100，110）分的學(xué)生有36×

1

20

×10=18人，
成績在[110，120）分的學(xué)生有36×

1

40

×10=9人；
記事件A為“抽取3名學(xué)生中同時滿足條件①②的事件”，
包括事件A₁=“抽取3名學(xué)生中，1人成績不低于110分，0人在[90，100）分之間”，
事件A₂=“抽取3名學(xué)生中，1人成績不低于110分，1人在[90，100）分之間”，且A₁、A₂是互斥事件；
∴P（A）=P（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）=

C 1 9 •C 2 21

C 3 36

+

C 1 9 •C 1 6 •C 1 21

C 3 36

=

9

34

+

27

170

=

36

85

；
（2）隨機變量X的可能取值為0，1，2，3；
∴P（X=0）=

C 3 3

C 3 9

=

1

84

，
p（X=1）=

C 1 6 •C 2 3

C 3 9

=

3

14

，
P（X=2）=

C 2 6 •C 1 3

C 3 9

=

15

28

，
P（X=3）=

C 3 6

C 3 9

=

5

21

；
∴X的分布列為

X	0	1	2	3
P	1 84	3 14	15 28	5 21

數(shù)學(xué)期望為EX=0×

1

84

+1×

3

14

+2×

15

28

+3×

5

21

=2．

點評：本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問題，也考查了互斥事件的概率以及離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計算問題，是綜合性題目．