Question

16．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+10≥0\\ 2x+y-2≥0\\ 3x-y-3≤0\end{array}\right.$，則$z=\frac{2}{{{x^2}+{y^2}+4x-2y+5}}$的取值范圍為[$\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$]．

Answer 1

分析 畫出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，結(jié)合兩點間的距離公式進行求解即可．

解答 解：z=x²+y²+4x-2y+5=（x+2）²+（y-1）²，
設(shè)m=（x+2）²+（y-1）²，則m的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點D（-2，1）的距離的平方，
作出實數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x-4y+10≥0\\ 2x+y-2≥0\\ 3x-y-3≤0\end{array}\right.$的平面區(qū)域如圖，
則點D到直線2x+y-2=0的距離最小，此時d=$\frac{|-4+1-2|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
AD的距離最大，由$\left\{\begin{array}{l}{x-4y+10=0}\\{3x-y-3=0}\end{array}\right.$得A（2，3），
則AD=$\sqrt{（2+2）^{2}+（3-1）^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
即（$\sqrt{5}$）²≤m≤20，即5≤m≤20，
則$z=\frac{2}{{{x^2}+{y^2}+4x-2y+5}}$的取值范圍為：[$\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$]．
故答案為：[$\frac{1}{10}$，$\frac{2}{5}$]．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)零點間的距離公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．