Question

18．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E為AA₁的中點(diǎn)，O是BD₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求證：EO∥平面ABCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因?yàn)?nbsp;A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，利用面面垂直的性質(zhì)推斷出平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）連接BD，AC，設(shè)BD∩AC=G，連接0G．證明四邊形AGOE是平行四邊形，所以O(shè)E∥AG，又因?yàn)镋O?平面ABCD，AG?平面ABCD．所以EO∥平面ABCD．

解答 證明：（Ⅰ）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，
∴平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）連接BD，AC，設(shè)BD∩AC=G，連接0G．

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為正方體，
∴AE∥DD₁，且AE=$\frac{1}{2}$DD₁，且G是BD的中點(diǎn)，
又因?yàn)镺是BD₁的中點(diǎn)，
∴OG∥DD₁，且OG=$\frac{1}{2}$DD₁，
∴OG∥AE，且OG=AE，
即四邊形AGOE是平行四邊形，
所以O(shè)E∥AG，
又∵EO?平面ABCD，AG?平面ABCD，
所以EO∥平面ABCD．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了線面平行，線面垂直的判定定理．考查了學(xué)生分析推理的能力．