已知a∈R,函數(shù)f(x)=
ax
+lnx-1

(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程;
(2)求f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值.
分析:(1)把a(bǔ)=1代入到f(x)中化簡得到f(x)的解析式,求出f'(x),因?yàn)榍的切點(diǎn)為(2,f(2)),所以把x=2代入到f'(x)中求出切線的斜率,把x=2代入到f(x)中求出f(2)的值得到切點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)切點(diǎn)和斜率寫出切線方程即可;
(2)借助于導(dǎo)數(shù),將函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1
的最值問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行研究.此題只須求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求解.
解答:解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=
1
x
+lnx-1
,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=-
1
x2
+
1
x
=
x-1
x2
,x∈(0,+∞).…(2分)
因此f′(2)=
1
4

即曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為
1
4
.…(4分)
f(2)=ln2-
1
2
,
所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y-(ln2-
1
2
)=
1
4
(x-2)
,
即x-4y+4ln2-4=0.…(6分)
(2)因?yàn)?span id="wauaypj" class="MathJye">f(x)=
a
x
+lnx-1,所以f′(x)=-
a
x2
+
1
x
=
x-a
x2

令f'(x)=0,得x=a. …(8分)
①若a≤0,則f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)f(x)無最小值.
②若0<a<e,當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(a,e]時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,e]上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=a時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值lna.…(10分)
③若a≥e,則當(dāng)x∈(0,e]時(shí),f'(x)≤0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=e時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值
a
e
.…(12分)
綜上可知,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上無最小值;
當(dāng)0<a<e時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為lna;
當(dāng)a≥e時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為
a
e
.…(13分)
點(diǎn)評:考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率,會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值.靈活運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決數(shù)學(xué)問題.本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,導(dǎo)數(shù)的引入,為研究函數(shù)的極值與最值帶來了方便.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=
1
12
x3+
a+1
2
x2+(4a+1)x

(Ⅰ)如果函數(shù)g(x)=f′(x)是偶函數(shù),求f(x)的極大值和極小值;
(Ⅱ)如果函數(shù)f(x)是(-∞,?+∞)上的單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x2+ax+2.
(1)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)令a=-1,b∈R,已知函數(shù)g(x)=b+2bx-x2.若對任意x1∈(-1,+∞),總存在x2∈[-1,+∞),使得f(x1)=g(x2)成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a∈R,函數(shù)f(x)=
a
x
+lnx-1,g(x)=(lnx-1)
e
x
 
+x
(其中e為自然對數(shù)的底).
(1)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)x0∈(0,e],使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直?若存在求出x0的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•太原一模)已知a∈R,函數(shù) f(x)=x3+ax2+(a-3)x的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù),則曲線y=f(x)在原點(diǎn)處的切線方程為
3x+y=0
3x+y=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•浙江)已知a∈R,函數(shù)f(x)=x3-3x2+3ax-3a+3.
(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),求|f(x)|的最大值.

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