Question

已知a＞1，f（log_ax）=

a

a2-1

(x-

1

x

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）證明f（x）為R上的增函數(shù)；
（3）若當x∈（-1，1）時，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的集合M．

Answer 1

（1）令t=log_ax（t∈R），
則x=a^t，f（t）=

a

a2-1

(at-

1

at

)，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)（x∈R）．
（2）當a＞1時，指數(shù)函數(shù)y=a^x是增函數(shù)，y=

1

ax

是減函數(shù)，y=-

1

ax

是增函數(shù)．
∴y=ax-

1

ax

為增函數(shù)，
又∵

a

a2-1

＞0，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)是R上的增函數(shù)．
當0＜a＜1時，指數(shù)函數(shù)y=a^x是減函數(shù)，y=

1

ax

是增函數(shù)，y=-

1

ax

是減函數(shù)．
∴y=ax-

1

ax

為減函數(shù)．
又∵

a

a2-1

＜0，
∴f（x）=

a

a2-1

(ax-

1

ax

)是R上的增函數(shù)．
綜上可知，在a＞1或0＜a＜1時，y=f（x）為R上的增函數(shù)．
（3）∵f（-x）=

a

a2-1

(a-x-

1

a-x

)=-

a

a2-1

(ax-

1

ax

)=-f（x），且x∈R，
∴f（x）為奇函數(shù)．
∵f（1-m）+f（1-）＜0，
∴f（1-m）＜-f（1-m²），
∴f（1-m）＜f（m²-1），
由（2）可知y=f（x）為R上的增函數(shù)，
∴-1＜1-m＜m²-1＜1，
解之得：1＜m＜

2

．