Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足b²=ac，cosB=

3

4

．
（1）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（2）設(shè)

BA

•

BC

=

3

2

，求邊b的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)cosB求出sinB，利用正弦定理得到sin²B=sinAsinC．通過(guò)切化弦，兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)

1

tanA

+

1

tanC

，即可求出表達(dá)式的值；
（2）通過(guò)

BA

•

BC

=

3

2

，求出ac的值，即可求邊b的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）由cosB=

3

4

可得，
sinB=

1-cos2B

=

7

4

．
∵b²=ac，
∴根據(jù)正弦定理可得
sin²B=sinAsinC．
又∵在△ABC中，A+B+C=π，
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

cosAsinC+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4 7

7

．
（2）由

BA

•

BC

=

3

2

得|

BA

|•|

BC

|cosB=accosB=

3

2

，
又∵cosB=

3

4

，
∴b²=ac=2，
∴b=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，兩角和與正弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．