Question

5．在△ABC中，BC=$\sqrt{6}$，|${\;\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}\;}$|=2．
（1）求證：△ABC三邊的平方和為定值；
（2）當(dāng)△ABC的面積最大時(shí)，求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)量積定義和余弦定理整體可得AB²+AC²=10，代值可得答案；
（2）由（1）知AB²+AC²=10，由基本不等式和三角形的面積公式可得S的最小值，以及取最小值時(shí)的條件，由三角函數(shù)的定義可得．

解答 （1）證明：∵$|{\;\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}\;}|=2$，∴AB•AC•cosA=2，
在△ABC中，由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA，
代入數(shù)據(jù)可得${（\sqrt{6}）^2}=A{B^2}+A{C^2}-4$，整理可得AB²+AC²=10，
∴△ABC三邊的平方和AB²+BC²+AC²=10+6=16為定值；
（2）由（1）知AB²+AC²=10，∴$AB•AC\;≤\;\frac{{A{B^2}+A{C^2}}}{2}=5$，
當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)取“=”號(hào)，∵AB•AC•cosA=2，∴$cosA=\frac{2}{AB•AC}$，
∴$sinA=\sqrt{1-{{cos}^2}A}=\sqrt{\;1-\frac{4}{{A{B^2}•A{C^2}}}}$，
∴△ABC的面積$S=\frac{1}{2}AB•AC•sinA=\frac{1}{2}AB•AC•\sqrt{\;1-\frac{4}{{A{B^2}•A{C^2}}}}$
=$\frac{1}{2}\sqrt{A{B^2}A{C^2}-4}\;≤\;\frac{1}{2}\sqrt{25-4}=\frac{{\sqrt{21}}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)AB=AC時(shí)取“=”號(hào)．
∵AB²+AC²=10，∴當(dāng)AB=AC時(shí)，$AB=AC=\sqrt{5}$，
∴$cosB=\frac{{\;\frac{BC}{2}\;}}{AB}=\frac{{\sqrt{6}}}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{30}}}{10}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查正余弦定理解三角形，涉及基本不等式求最值和三角函數(shù)定義，屬中檔題．