Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，滿足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{\frac{2}{S_n}，（n為奇數(shù)）}\\{{b_n}，（n為偶數(shù)）}\end{array}}\right.$，設(shè)數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，由已知利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)列出方程組，求出公差和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}和{b_n}通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由S_n=n（n+2），${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}，n為奇數(shù)}\\{{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，由此能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答 （18）（本小題滿分13分）
（Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，數(shù)列{b_n}的公比為q，
則由a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅-2b₂=a₃，
得$\left\{\begin{array}{l}{q+3+3+d=10}\\{{a}_{1}+4d-2q=3+2d}\end{array}\right.$，解得d=2，q=2，…（4分）
∴a_n=2n+1，$_{n}={2}^{n-1}$．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，S_n=n（n+2），
則c_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{n（n+2）}，n為奇數(shù)}\\{{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，即${c}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}，n為奇數(shù)}\\{{2}^{n-1}，n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，…（7分）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
T_n=（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+$…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）+（2+2³+2⁵+…+2^n-2）
=1-$\frac{1}{n+2}$+$\frac{2（1-{4}^{\frac{n-1}{2}}）}{1-4}$=$\frac{{2}^{n}+1}{3}-\frac{n}{n+2}$，…（10分）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，
T_n=（1-$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+$…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}$）+（2+2³+…+2^n-1）
=1-$\frac{1}{n+1}$+$\frac{2（1-{4}^{\frac{n}{2}}）}{1-4}$
=$\frac{{2}^{n+1}+1}{3}-\frac{1}{n+1}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．