Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+1nx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x），求證：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)可判斷f（x）區(qū)間[1，e]上的單調(diào)性，由單調(diào)性可得函數(shù)的最值；
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)易證明；當(dāng)n≥2時(shí)，對(duì)不等式左邊運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，再用基本不等式即可證明；

解答：解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=x+

1

x

，
當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）＞0，所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大、最小值分別為f（1）、f（e），
因?yàn)閒（1）=

1

2

，f（e）=

e2

2

+1，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為

e2

2

+1，最小值為

1

2

；
（Ⅱ）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立，
當(dāng)n≥2時(shí)，[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)
=

C

1 n

xn-1•

1

x

+C

2 n

xn-2•

1

x2

+…

+C

n-1 n

x•

1

xn-1

=

1

2

[C

1 n

(xn-2+

1

xn-2

)

+C

2 n

(xn-4+

1

xn-4

)+…

+C

n-1 n

(

1

xn-2

+xn-2)]，
由已知x＞0，所以：[g（x）]ⁿ-g（xⁿ）≥

C

1 n

+C

2 n

+…

+C

n-1 n

=2n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值、二項(xiàng)式定理、基本不等式等，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．