Question

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，點(diǎn)D在棱AB上．

(1)若D是AB中點(diǎn)，求證：AC1∥平面B1CD；

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．

 

Answer 1

(1)詳見(jiàn)解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）要證明AC1∥平面B1CD，根據(jù)線(xiàn)面的判定定理，只要轉(zhuǎn)換證明DE//AC1即可；

（2）可以以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCD的法向量與平面B1CD的法向量，然后利用向量夾角公式即可.

試題解析：解:(1)證明：連結(jié)BC1，交B1C于E，連接DE．

因?yàn)橹比�棱柱ABC-A1B1C1，D是AB中點(diǎn)，

所以側(cè)面BB1C1C為矩形，DE為△ABC1的中位線(xiàn)，所以DE//AC1．

因?yàn)镈E平面B1CD，AC1平面B1CD，所以AC1∥平面B1CD．6分

（2）由（1）知AC⊥BC，如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz．

則B(3,0,0)，A(0,4,0)，A1(0,4,4)，B1(3,0,4)．設(shè)D(a,b,0)（，），因?yàn)辄c(diǎn)D在線(xiàn)段AB上，且，即．

所以，，，,．

平面BCD的法向量為．設(shè)平面B1CD的法向量為，

由，，得，

所以，，.所以．

所以二面角的余弦值為．12分

考點(diǎn)：(1)空間位置關(guān)系的證明；（2）平面向量在立體幾何中的應(yīng)用.