Question

△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，向量=（sinB，1-cosB），=（sinB，cosB），且•=0．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）求證：b²≥3ac．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，利用和的坐標(biāo)表示及•=0，得到一個(gè)關(guān)系式，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系可化為關(guān)于cosB的一元二次方程，求出方程的解即可得到cosB的值，然后根據(jù)B的范圍得到滿足題意的cosB的值；
（Ⅱ）由（I）求得的cosB的值，利用余弦定理表示出cosB得到一個(gè)關(guān)系式，利用基本不等式即可得證．
解答：解：（I）∵=（sinB，1-cosB），=（sinB，cosB），又•=0，
∴sin²B+cosB-cos²B=0．
∴2cos²B-cosB-1=0．
解得cosB=-或cosB=1（舍）．
∵0＜B＜π，
∴cosB=-．

（II）由（I）可知cosB=-，
∴．
即b²=a²+c²+ac．
又∵a²+c²≥2ac，
∴b²≥3ac．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用余弦定理、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，掌握平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，是一道綜合題．