Question

10．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，作過F₁作兩條相互垂直的直線l₁，l₂，其中直線l₁交雙曲線右支于點(diǎn)M，直線l₂交雙曲線左支于點(diǎn)N，以下說法一定正確的是④
①若|F₂M|＜|F₂N|，則∠MF₂N為銳角
②若|F₂M|＜|F₂N|，則∠MF₂N為鈍角
③若|F₂M|＜|F₁N|，則∠MF₂N為銳角
④若|F₂M|＜|F₁N|，則∠MF₂N為鈍角．

Answer 1

分析 結(jié)合已知中，過F₁作兩條相互垂直的直線l₁，l₂，其中直線l₁交雙曲線右支于點(diǎn)M，直線l₂交雙曲線左支于點(diǎn)N，結(jié)合余弦定理和勾股定理，分別判斷cos∠MF₂N的符號，進(jìn)而得到答案．

解答 解：令|F₂M|=x，|F₂N|=y，則|F₁M|=x+2a，|F₁N|=y-2a，
則MN²=（x+2a）²+（y-2a）²=x²+y²-2xycos∠MF₂N，
即cos∠MF₂N=$\frac{4a（y-x+2a）}{2xy}$，
若|F₂M|＜|F₂N|，則cos∠MF₂N的符號不能確定，故∠MF₂N的大小也不確定，故①②錯(cuò)誤；
令|F₂M|=x，|F₁N|=y，則|F₁M|=x+2a，|F₂N|=y+2a，
則MN²=（x+2a）²+y²=x²+（y+2a）²-2x（y+2a）cos∠MF₂N，
即cos∠MF₂N=$\frac{4a（y-x）}{2x（y+2a）}$，
若|F₂M|＜|F₁N|，則cos∠MF₂N＜0，
故∠MF₂N為鈍角，③錯(cuò)誤，
故說法一定正確的是④，
故答案為：④．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是雙曲線的簡單性質(zhì)，余弦定理，三角函數(shù)的符號，難度中檔．