Question

為了保護(hù)環(huán)境,發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì),某單位在國家科研部門的支持下,進(jìn)行技術(shù)攻關(guān),新上了把二氧化碳處理轉(zhuǎn)化為一種可利用的化工產(chǎn)品的項(xiàng)目,經(jīng)測(cè)算,該項(xiàng)目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為
y=
且每處理一噸二氧化碳得到可利用的化工產(chǎn)品價(jià)值為200元,若該項(xiàng)目不獲利,國家將給予補(bǔ)償.
(1)當(dāng)x∈[200,300]時(shí),判斷該項(xiàng)目能否獲利?如果獲利,求出最大利潤;如果不獲利,則國家每月至少需要補(bǔ)貼多少元才能使該項(xiàng)目不虧損?
(2)該項(xiàng)目每月處理量為多少噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低?

Answer 1

(1) 國家每月至少補(bǔ)貼5000元才能使該項(xiàng)目不虧損
(2) 當(dāng)每月的處理量為400噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低.

(1)該項(xiàng)目不會(huì)獲利.
當(dāng)x∈[200,300]時(shí),設(shè)該項(xiàng)目獲利為S,
則S=200x-(x²-200x+80000)
=-x²+400x-80000=-(x-400)²,
所以當(dāng)x∈[200,300]時(shí),S<0,因此該項(xiàng)目不會(huì)獲利.
當(dāng)x=300時(shí),S取得最大值-5000,
所以國家每月至少補(bǔ)貼5000元才能使該項(xiàng)目不虧損.
(2)由題意,可知二氧化碳的每噸處理成本為:
=
①當(dāng)x∈[120,144)時(shí),
=x²-80x+5040=(x-120)²+240,
所以當(dāng)x=120時(shí),取得最小值240.
②當(dāng)x∈[144,500]時(shí),=x+-200≥
2-200=200,
當(dāng)且僅當(dāng)x=,
即x=400時(shí),取得最小值200.
因?yàn)?00<240,所以當(dāng)每月的處理量為400噸時(shí),才能使每噸的平均處理成本最低.