已知四邊形為菱形,,兩個正三棱錐(底面是正三角形且頂點在底面上的射影是底面正三角形的中心)的側棱長都相等,點分別在上,且.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求平面與底面所成銳二面角的平面角的正切值;
(Ⅲ)求多面體的體積.
(Ⅰ) 見解析(Ⅱ)  (Ⅲ)
(Ⅰ)取中點，連、，則


面，  




又
     ……………3分
(Ⅱ)設在底面的射影分別為,則
由所給的三棱錐均為正三棱錐且兩三棱錐全等,
故∥,且=,∴四邊形為平行四邊形,
∴∥,又分別為△,△的中心,
∴在菱形的對角線上,
∴∥,即∥平面…………………………………5分
設平面與平面的交線為,取中點連結,
由
∴為平面與平面所成二面角的平面角
…………………………7分
在△中, ,
∴，
∴……………………………9分
(Ⅲ設、在和上的射影為，則均在直線上，且為平行四邊形，。

 

 
為四棱錐                       

設，則，又，由（1）知
即
面，，又面。
設四棱錐的高為，且    

 在中，

F

 

         
                   ……………13分
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）
　　　如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD⊥底面ABCD，側棱PA=PD＝，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O為AD中點。

（Ⅰ）求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求異面直線PD與CD所成角的大��；
（Ⅲ）線段AD上是否存在點Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖3：在空間四邊形ABCD中，AC=AD，BC=BD，且E是CD的中點．
（1）求證：平面ABE平面BCD；
（2）若F是AB的中點，BC=AD，且AB=8，AE=10，求EF的長．
 

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

在直三棱柱中，平面，其垂足落在直線上．
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）若，，為的中點，求三棱錐的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖．在直觀圖中，
是的中點.側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角
三角形，有關數(shù)據(jù)如圖所示.
（Ⅰ）求出該幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：EM∥平面ABC；
(Ⅲ) 試問在棱DC上是否存在點N，使NM⊥平面？若存在，確定點N的位置；
若不存在，請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且，（1）證明：；

（II）假定CD=2，，記面為α，面CBD為β，求二面角α -BD -β的平面角的余弦值；
（III）當的值為多少時，能使？請給出證明.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，
M為AP的中點．
（Ⅰ）求證：DM∥平面PCB；                      
（Ⅱ）求直線AD與PB所成角；
（Ⅲ）求三棱錐P-MBD的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

下列命題中錯誤的是(        ).
A．如果平面⊥平面，那么內(nèi)所有直線都垂直于平面
B．如果平面⊥平面，那么內(nèi)一定存在直線平行于平面
C．如果平面不垂直于平面，那么內(nèi)一定不存在直線垂直于平面
D．如果平面⊥平面，平面⊥平面，，那么平面

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知菱形的頂點在橢圓上，對角線所在直線的斜率為1．
（Ⅰ）當直線過點時，求直線的方程；
（Ⅱ）當時，求菱形面積的最大值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案