Question

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為，，減區(qū)間為 （2）見(jiàn)解析 （3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）先求出的定義域,求得導(dǎo)函數(shù),令可解得或,分類討論判斷或,進(jìn)而解得單調(diào)區(qū)間；

（2）整理函數(shù)為,則令,當(dāng)時(shí),,則分別討論和兩種情況,利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（3）由（2）可知,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得在單調(diào)遞增,則,整理即可得證

解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,

令,得或,

因?yàn)?/span>,當(dāng)或時(shí),,單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,

所以的增區(qū)間為,；減區(qū)間為

（2）取,則當(dāng)時(shí),,,

所以；

又因?yàn)?/span>,由（1）可知在上單調(diào)遞增,因此,當(dāng),恒成立,即在上無(wú)零點(diǎn).；

下面討論的情況：

①當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,且,,,

根據(jù)零點(diǎn)存在定理,有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí),由在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,且，

此時(shí)有唯一零點(diǎn)；

③若,由在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,,

此時(shí)無(wú)零點(diǎn)；

綜上,若,有兩個(gè)不同的零點(diǎn)；若,有唯一零點(diǎn)；若,無(wú)零點(diǎn)

（3）證明：由（2）知,,且,

構(gòu)造函數(shù),,

則,

令,,

因?yàn)楫?dāng)時(shí),,,

所以

又,所以恒成立,即在單調(diào)遞增,

于是當(dāng)時(shí),,即 ,

因?yàn)?/span>,所,

又,所以,

因?yàn)?/span>,,且在單調(diào)遞增,

所以由,可得,即