Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：對任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y）-1，且當(dāng)0＜x＜1時，都有f（x）＞1成立．
（1）判斷并證明f（x）在定義域（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若f（9）=7，解不等式：f（x²+2x）＞4

Answer 1

解：（1）函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是一個減函數(shù)．證明如下：
設(shè)0＜x₁＜x₂，則 0＜＜1，于是有：＞1
f（x₁）==f（x₂）+-1＞f（x₂）+1-1=f（x₂）
即：f（x₁）＞f（x₂）．
由函數(shù)的單調(diào)性定義可知：函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是一個減函數(shù)．
（2）由已知，f（3×3）=f（3）+f（3）-1=7，即得：f（3）=4，因此有
f（x²+2x）＞4=f（3），又有（1）的結(jié)論以及函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），得不等式組：
，解得：-3＜x＜-2或0＜x＜1
所以：（1）數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是一個減函數(shù)
（2）不等式f（x²+2x）＞4的解集為：{x|-3＜x＜-2或0＜x＜1}
分析：（1）抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，需要特別的構(gòu)造方法，本題中的特點是含有f（xy），因此在設(shè)出0＜x₁＜x₂之后想到
構(gòu)造出：0＜＜1，可應(yīng)用已知得到＞1，下面的證明過程就很自然了．
對于（2）的抽象不等式的解法，是想法脫去函數(shù)符號“f”，而利用（1）的結(jié)論很容易做到，轉(zhuǎn)化得出一個不等式，進而解之即可．
點評：本題考查抽象函數(shù)的概念及其應(yīng)用，抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，抽象函數(shù)不等式的解集的求法．
考查了構(gòu)造函數(shù)以及函數(shù)值的賦值法即函數(shù)特值的應(yīng)用技巧．