Question

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率.

（1）求橢圓C的方程；

（2）已知過點(diǎn)的直線與該橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，試問：在直線上是否存在點(diǎn)P，使得是正三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

（1）橢圓的方程為.（2）存在符合題意的點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）由題意得 2分

解得

（2）討論當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)；

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為,

代入，整理得,

設(shè)，，應(yīng)用韋達(dá)定理得到，,

設(shè)存在符合題意的點(diǎn)，

從而弦長(zhǎng)

,

設(shè)線段的中點(diǎn)，則，

所以,

根據(jù)是正三角形，得到，且,

由得,

得到,

由得關(guān)于的方程，

解得..

（1）由題意得 2分

解得 4分

所以橢圓的方程為. 5分

（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)； 6分

當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為,

代入，整理得,

設(shè)，，則，,

設(shè)存在符合題意的點(diǎn)，

則

, 8分

設(shè)線段的中點(diǎn)，則，

所以,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111718592416824191/SYS201411171859409658259022_DA/SYS201411171859409658259022_DA.022.png">是正三角形，所以，且, 9分

由得即，所以,

所以, 10分

由得，

解得，所以. 12分

由得,

所以,

所以存在符合題意的點(diǎn). 14分

考點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)，直線方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，三角形的性質(zhì)，分類討論思想.