Question

5．2016年高一新生入學(xué)后，為了了解新生學(xué)業(yè)水平，某區(qū)對(duì)新生進(jìn)行了水平測(cè)試，隨機(jī)抽取了50名新生的成績(jī)，其相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：

分?jǐn)?shù)段	頻數(shù)	選擇題得分24分以上（含24分）
[40，50）	5	2
[50，60）	10	4
[60，70）	15	12
[70，80）	10	6
[80，90）	5	4
[90，100）	5	5

（Ⅰ）若從分?jǐn)?shù)在[70，80），[80，90）的被調(diào)查的新生中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求恰好有2名新生選擇題得分不足24分的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，記選中的4名新生中選擇題得分不足24分的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表知分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的有10人，選擇題得分不足24分的有4人，分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的有5人，選擇題得分不足24分的有1人，然后求解互斥事件的概率．
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，3，求出概率，得到X的分布列然后求解期望與方差．

解答 （10分）解：（Ⅰ）由表知分?jǐn)?shù)在[70，80）內(nèi)的有10人，選擇題得分不足24分的有4人，
分?jǐn)?shù)在[80，90）內(nèi)的有5人，選擇題得分不足24分的有1人，
所以恰好有2名學(xué)生選擇題得分不足24分的概率事件由兩個(gè)互斥事件構(gòu)成，
即所求概率為$P（{X=2}）=\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^1C_1^1}{C_5^2}$$+\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^2}{C_5^2}$=$\frac{24}{45}×\frac{4}{10}+\frac{6}{45}$×$\frac{6}{10}=\frac{22}{75}$．
（Ⅱ）X的所有可能取值為0，1，2，3．
$P（{X=0}）=\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^2}{C_5^2}$=$\frac{15}{45}×\frac{6}{10}=\frac{1}{5}$；
$P（{X=1}）=\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^1}{C_5^2}+$$\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^2}{C_5^2}=\frac{15}{45}×\frac{4}{10}$$+\frac{24}{45}×\frac{6}{10}=\frac{34}{75}$；
$P（{X=2}）=\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^1C_1^1}{C_5^2}$$+\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^2}{C_5^2}$=$\frac{24}{45}×\frac{4}{10}+\frac{6}{45}$×$\frac{6}{10}=\frac{22}{75}$．
$P（{X=3}）=\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^1}{C_5^2}$=$\frac{6}{45}×\frac{4}{10}=\frac{4}{75}$．
所以X的分布列是

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{34}{75}$	$\frac{22}{75}$	$\frac{4}{75}$

所以X的數(shù)學(xué)期望$E（X）=0×\frac{1}{5}+1×\frac{34}{75}$$+2×\frac{22}{75}+3×\frac{4}{75}=\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，離散型隨機(jī)變量的分布列，考查分析問題解決問題的能力．