Question

16．已知f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$其中$\overrightarrow{m}$=（sinx，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$cos2x），將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象．
（1）若$x∈[{0，\frac{π}{12}}]$，求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，且f（B）=0，B∈（0，$\frac{π}{2}$），b=3，求a+c的范圍．

Answer 1

分析 （1）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)行，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用及已知可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換得到函數(shù)g（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$），由$x∈[{0，\frac{π}{12}}]$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解單調(diào)區(qū)間．
（2）由f（B）=0，可得B，又b=3，由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得a+c=6sin（A+$\frac{π}{6}$），由A∈（0，$\frac{2π}{3}$），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由已知可得：f（x）=$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=sinxcosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{12}$個(gè)單位得到f（x-$\frac{π}{12}$）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象，
再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$）的圖象．…（3分）
又$x∈[{0，\frac{π}{12}}]$，可得4x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，g（x）單調(diào)遞增，
故g（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\frac{π}{12}$]．…（6分）
（2）由f（B）=0，可得：sin（2B+$\frac{π}{3}$）=0，又B∈（0，$\frac{π}{2}$），故B=$\frac{π}{3}$．
又b=3，由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2\sqrt{3}$，
所以a=2$\sqrt{3}$sinA，c=2$\sqrt{3}$sinC=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A），
故a+c=2$\sqrt{3}$sinA+2$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）=3$\sqrt{3}$sinA+3cosA=6sin（A+$\frac{π}{6}$），
由A∈（0，$\frac{2π}{3}$），得A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），故6sin（A+$\frac{π}{6}$）∈（3，6]，
∴a+c∈（3，6]．…（12分）
（也可用余弦定理計(jì)算）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)行，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．