Question

5．已知a＞1，b＞1，且$\frac{1}{4}lna，\frac{1}{4}，lnb$成等比數(shù)列，則ab的最小值為e．

Answer 1

分析 由題意和等比中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程，由條件和基本不等式列出不等式，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)后求ab的最小值．

解答 解：∵$\frac{1}{4}lna，\frac{1}{4}，lnb$成等比數(shù)列，
∴$（\frac{1}{4}）^{2}=\frac{1}{4}lna•lnb$，則$lna•lnb=\frac{1}{4}$，
∵a＞1，b＞1，∴l(xiāng)na＞0，lnb＞0，
∴$lna+lnb≥2\sqrt{lna•lnb}$=1，
當(dāng)且僅當(dāng)lna=lnb時(shí)取等號(hào)，
則ln（ab）≥1=lne，即ab≥e，
∴ab的最小值最小值是e，
故答案為：e．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式在求最值中的應(yīng)用，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及等比中項(xiàng)的性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)、變形能力．