Question

4．點(diǎn)P在$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上且到直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1的距離為$\frac{6}{5}$，則點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為2．

Answer 1

分析 求出與直線平行并且到直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1的距離為$\frac{6}{5}$的直線方程，然后利用直線與橢圓方程交點(diǎn)個(gè)數(shù)推出結(jié)果．

解答 解：點(diǎn)P在$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1上且到直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1的距離為$\frac{6}{5}$，
轉(zhuǎn)化為與直線平行并且到直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1的距離為$\frac{6}{5}$的直線與橢圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
與直線平行并且到直線$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{3}$=1的距離為$\frac{6}{5}$的直線方程為：3x+4y-6=0與3x+4y-18=0．

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1\\ 3x+4y-18=0\end{array}\right.$，消去y可得：9x²+（3x-18）²=144．
化簡(jiǎn)可得：x²-6x+10=0，△=36-40=-4＜0，方程無(wú)解，
直線3x+4y-6=0與橢圓必有2個(gè)交點(diǎn)．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用，平行線的求法轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．