Question

16．平面中，如果一個凸起多邊形有內切圓，那么凸多邊形的面積S，周長c與內切圓半徑r之間的關系為S=$\frac{1}{2}$cr，類比這個結論，空間中，如果已知一個凸多面體有內切球，且內切球半徑為R，那么凸多面體的體積V，表面積S′，球半徑R之間的關系是V=$\frac{1}{3}S′R$．

Answer 1

分析 由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．

解答 解：類比平面中凸多邊形的面積的求法，將空間凸多面體的內切球球心與各個頂點連接起來，將凸多面體分割成若干個小棱錐，每個棱錐都以多面體的面為底面，以內切球的半徑為高，從而
V=$\frac{1}{3}{S}_{1}R+\frac{1}{3}{S}_{2}R+…+\frac{1}{3}{S}_{n}R$=$\frac{1}{3}（{S}_{1}+{S}_{2}+…+{S}_{n}）R$
=$\frac{1}{3}S′R$（S₁，S₂，…，S_n為凸多面體的各個面的面積）．
故答案為：V=$\frac{1}{3}S′R$．

點評 本題主要考查的知識點是類比推理，類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想），屬于基礎題．