Question

4．已知a∈R，函數(shù)f（x）=log₂（$\frac{1}{x}$+a）．
（1）當(dāng)a=-5時，解關(guān)于x的不等式f（x）＞0；
（2）設(shè)a＞0，若對任意t∈[$\frac{1}{2}$，1]，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上的最大值與最小值的差都不超過1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將a的值代入f（x）得到關(guān)于x的不等式，解出即可；
（2）根據(jù)條件得到f（t）-f（t+1）≤1，恒成立，利用換元法進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：（1）a=-5時，f（x）=log₂（$\frac{1}{x}$-5），
令f（x）＞0，即$\frac{1}{x}$-5＞1，0＜x＜$\frac{1}{6}$，
故不等式的解集是（0，$\frac{1}{6}$）；
（2）函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，
由題意得f（t）-f（t+1）≤1，
即log₂（$\frac{1}{t}$+a）-log₂（ $\frac{1}{t+1}$+a）≤1，
即$\frac{1}{t}$+a≤2（ $\frac{1}{t+1}$+a），即a≥$\frac{1}{t}$-$\frac{2}{t+1}$=$\frac{1-t}{t（t+1）}$，
設(shè)1-t=r，則0≤r≤$\frac{1}{2}$，$\frac{1-t}{t（t+1）}$=$\frac{r}{（1-r）（2-r）}$=$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$，
當(dāng)r=0時，$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$=0，
當(dāng)0＜r≤$\frac{1}{2}$時，$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$=$\frac{1}{r+\frac{2}{r}-3}$，
∵y=r+$\frac{2}{r}$在（0，$\sqrt{2}$）上遞減，
∴r+$\frac{2}{r}$≥$\frac{1}{2}$+4=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{r}{{r}^{2}-3r+2}$=$\frac{1}{r+\frac{2}{r}-3}$≤$\frac{1}{\frac{9}{2}-3}$=$\frac{2}{3}$，
∴實數(shù)a的取值范圍是a≥$\frac{2}{3}$．

點評 本題主要考查函數(shù)最值的求解，以及對數(shù)不等式的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合對勾函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，難度較大．