Question

已知△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若S_△ABC=

a2-(b-c)2

2

．
（1）求cosA的值；
（2）若S=10，求bc的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）利用三角形面積公式及余弦定理化簡(jiǎn)已知等式得到sinA=-2cosA+2，與sin²A+cos²A=1聯(lián)立求出cosA的值即可；
（2）由cosA的值，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系求出sinA的值，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把已知面積S與sinA的值代入，即可求出bc的值．

解答： 解：（1）∵S_△ABC=

1

2

bcsinA，cosA=

b2+c2-a2

2bc

，即a²-b²-c²=-2bccosA，且S_△ABC=

a2-(b-c)2

2

，
∴

1

2

bcsinA=

a2-b2-c2+2bc

2

=

-2bccosA+2bc

2

=-bccosA+bc，即

1

2

sinA=-cosA+1，
整理得：sinA=-2cosA+2，
∵sin²A+cos²A=1，
∴（-2cosA+2）²+cos²A=1，即5cos²A-8cosA+3=0，
解得：cosA=

3

5

或cosA=1（不合題意，舍去），
則cosA=

3

5

；
（2）∵cosA=

3

5

，A為三角形的內(nèi)角，
∴sinA=

1-cos2A

=

4

5

，
∵S=

1

2

bcsinA=10，
∴bc=25．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．