Question

已知集合A={z₁||z₁-2|≤2，z₁∈C}，B={z|z=

1

2

z₁i+b，z₁∈A，b∈R}，
（1）當b=0時，求出集合B在復平面所表示的區(qū)域；
（2）當A∩B=∅時，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：交集及其運算

專題：集合

分析：（1）由已知條件得|z₁-2|≤2，當b=0時，z1=

2

i

z，由此能求出集合B在復平面所表示的區(qū)域是以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓內及圓上的點．
（2）由已知得|z-（b+i）|≤1，要使A∩B=∅，則有圓|z-2|=2和|z-（b+i）|=1外離，由此能求出實數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知條件得|z₁-2|≤2，
當b=0時，z=

z1i

2

，即z1=

2

i

z，
∴z1-2=

2

i

z-2，
∴|z₁-2|=|

2

i

z-2|≤2，
即|

1

i

z-1|≤1，∴|z-i|≤1，
∴集合B在復平面所表示的區(qū)域是以（0，1）為圓心，以1為半徑的圓內及圓上的點．
（2）將|

z1i

2

-i|≤1，化為|

z1i

2

+b-b-i|≤1，
∴|z-（b+i）|≤1，
要使A∩B=∅，
則有圓|z-2|=2和|z-（b+i）|=1外離，
即|（b+i）-2|＞3，
∴（b-2）²+1＞9，即b²-4b-4＞0，
解得b＜2-2

2

或b＞2+2

2

．

點評：本題考查集合B在復平面所表示的區(qū)域的求法，考查實數(shù)b的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意復數(shù)性質的合理運用．