Question

【題目】已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為， 點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)， 軸， 為垂足， 為線段中點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)， 為線段的中點(diǎn)，若四邊形的面積為，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由離心率得，再把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，結(jié)合聯(lián)立后可解得，得橢圓方程；

（Ⅱ）設(shè)，得點(diǎn)坐標(biāo)，寫出方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，又可得點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率相等求出與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用可求得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得直線方程．

（Ⅰ）由題意，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）設(shè)，則，且．因?yàn)?/span>為線段中點(diǎn)，

所以．又，所以直線的方程為．

因?yàn)?/span> 令，得即．又，為線段的中點(diǎn)，有．

設(shè)直線與軸交于，

由得：，∴，

∴．

又，∴，

解得：，代入橢圓方程得：，∵，∴，

∴直線的方程為．