如圖，P是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C：=1上的一點(diǎn).已知=0，且.

（1）求雙曲線(xiàn)的離心率e；

（2）過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)的兩漸近線(xiàn)相交于P1，P2兩點(diǎn)，若

=0，求雙曲線(xiàn)C的方程.

解：（1）由=0得，即△F1PF2為直角三角形.

設(shè)，則=2r，于是有（2r）2+r2=4c2和2r-r=2a5×（2a）2=4c2e=.

（2）設(shè)P1（x1y1），P2（x2，y2）,

則=x1x2+y1y2=x1x2-4x1x2=x1x2=.①

由=0,得

∵點(diǎn)P（x，y）在雙曲線(xiàn)=1上，

∴=1，

又b2=4a2.

∴上式為=1.簡(jiǎn)化得x1x2=a2.②

由①②得a2=2，從而得b2=8.故所求雙曲線(xiàn)方程為=1.

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精英家教網(wǎng)給出以下判斷：
（1）b=0是函數(shù)f（x）=ax2+bx+c為偶函數(shù)的充要條件；
（2）橢圓
x2
4
+
y2
3
=1中，以點(diǎn)（1，1）為中點(diǎn)的弦所在直線(xiàn)方程為x+2y-3=0；
（3）回歸直線(xiàn)
y
=
b
x+
a
 必過(guò)點(diǎn)(
.
x
，
.
y
)；
（4）如圖，在四面體ABCD中，設(shè)E為△BCD的重心，則
AE
=
AB
+
1
2
AC
+
2
3
AD
；
（5）雙曲線(xiàn)
x2
a2
-
y2
b2
=1( a＞0 ， b＞0 )的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為右支是異于右頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，△PF1F2的內(nèi)切圓圓心為T(mén)，則點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為a．其中正確命題的序號(hào)是
 
．

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如圖，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，分別以HF，EG所在的直線(xiàn)為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（1）求證：直線(xiàn)ER與GR′的交點(diǎn)M在橢圓Γ：＋y2＝1上；

（2）若點(diǎn)N是直線(xiàn)l：y＝x＋2上且不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，F1、F2分別為橢圓Γ的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)NF1和NF2與橢圓Γ的交點(diǎn)分別為P、Q和S、T．是否存在點(diǎn)N，使得直線(xiàn)OP、OQ、OS、OT的斜率kOP、kOQ、kOS、kOT滿(mǎn)足kOP＋kOQ＋kOS＋kOT＝0？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

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