Question

【題目】函數(shù) ，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A.f（x）是偶函數(shù)
B.方程f（f（x））=x的解為x=1
C.f（x）是周期函數(shù)
D.方程f（f（x））=f（x）的解為x=1

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵函數(shù) ，

當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，﹣x必為有理數(shù)，此時(shí)f（﹣x）=f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，﹣x必為無理數(shù)，此時(shí)f（﹣x）=f（x）=0．故Af（x）是偶函數(shù)正確；

若為有理數(shù)，則方程f（f（x））=f（1）=1，此時(shí)x=1；若為無理數(shù)，則方程f（f（x））=f（0）=1，此時(shí)無滿足條件的x；故B方程f（f（x））=x的解為x=1正確；

對于任意的有理數(shù)T，當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x+T必為有理數(shù)，此時(shí)f（x+T）=f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，x+T必為無理數(shù)，此時(shí)f（x+T）=f（x）=0；即函數(shù)是周期為任意非0有理數(shù)的周期函數(shù)，故Cf（x）是周期函數(shù)正確；

若為有理數(shù)，則方程f（f（x））=f（1）=1=f（x）恒成立；若為無理數(shù)，則方程f（f（x））=f（0）=1≠f（x），此時(shí)無滿足條件的x；故方程f（f（x））=f（x）的解為任意有理數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故答案選：D

【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的命題的真假判斷與應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)，需要了解兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系；函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)才能得出正確答案．