Question

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點． （Ⅰ）求證：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）平面PAD內是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）如圖，取PD中點E，連接EM、AE， ∴EM CD，而AB CD，∴EM∥AB，
∴四邊形ABME是平行四邊形，∴BM∥AE
∵AE平面ADP，BM平面ADP，
∴BM∥平面PAD．
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AB，而AB⊥AD，PA∩AD=A，
∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PD
∵PA=AD，E是PD的中點，
∴PD⊥AE，AB∩AE=A，∴PD⊥平面ABME
作MN⊥BE，交AE于點N，則MN⊥平面PBD
由題意知△BME∽△MEN，而BM=AE= ，EM= CD=1，
由 = ，得EN= = = ，
∴AN= ，即點N為AE的中點．

【解析】（Ⅰ）取PD中點E，連接EM、AE，由已知得四邊形ABME是平行四邊形，由此能證明BM∥平面PAD．（Ⅱ）由已知PA⊥AB，AB⊥AD，從而AB⊥平面PAD，進而AB⊥PD，由此得到PD⊥平面ABME，作MN⊥BE，交AE于點N，則MN⊥平面PBD，從而求出點N為AE的中點．
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定和直線與平面垂直的性質是解答本題的根本，需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；垂直于同一個平面的兩條直線平行．