Question

已知函數f（x）=x³-ax-1．
（1）若f（x）在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使f（x）在（-1，1）上單調遞減？若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由；
（3）證明f（x）=x³-ax-1的圖象不可能總在直線y=a的上方．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出函數f（x）的導函數f′（x），要使f（x）在實數集R上單調遞增，只需f′（x）＞0在R上恒成立，即可求出實數a的取值范圍；
（2）欲使f（x）在（-1，1）上單調遞減，只需f′（x）≤0在（-1，1）上恒成立，利用分離法將a分離出來，求出不等式另一側的最大值，即可求出a的范圍；
（3）只需取例說明，取x=-1時，f（-1）=a-2＜a，從而說明f（x）的圖象不可能總在直線y=a的上方．
解答：解：（1）f′（x）=3x²-a，3x²-a＞0在R上恒成立，∴a＜0．
又a=0時，f（x）=x³-1在R上單調遞增，∴a≤0．
（2）3x²-a＜0在（-1，1）上恒成立，即a＞3x²在（-1，1）上恒成立，即a＞3．
又a=3，f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3（x²-1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上單調遞減，∴a≥3．
（3）當x=-1時，f（-1）=a-2＜a，因此f（x）的圖象不可能總在直線y=a的上方．
點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查計算能力和分析問題的能力，屬于基礎題．