Question

設(shè)集合M={x|x²+2（1-a）x+3-a≤0，x∈R}．
（1）當(dāng)M?[0，3]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)M⊆[0，3]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：設(shè)y=x²+2（1-a）x+3-a，其開(kāi)口向上，
那么滿足y=x²+2（1-a）x+3-a≤0，的x的取值，
即為使 二次函數(shù)在x軸下方 的x的取值范圍，
也就是 二次函數(shù)與y軸交點(diǎn) 之間的部分，
（1）當(dāng)[0，3]包含于M時(shí)
二次函數(shù)與y軸兩交點(diǎn)之間的部分應(yīng) 包含區(qū)間[0，3]，
即 兩交點(diǎn)一個(gè)在（-∞，0]，一個(gè)在[3，+∞），
可知 f（0）≤0，且f（3）≤0，
f（0）=3-a≤0，a≥3，
f（3）=9+6（1-a）+（3-a）=18-7a≤0，a≥，
并且△=b²-4ac≥0，
4（1-a）²-4（3-a）≥0，
a²-2a+1-3+a≥0，
a²-a-2≥0，
（a-2）（a+1）≥0，
a≥2或a≤-1，
綜上所述，a的取值范圍[3，+∞）．
（2）當(dāng)M包含于[0，3]時(shí)，
二次函數(shù)與y軸兩交點(diǎn)之間的部分，或M為空集，應(yīng)包含于區(qū)間[0，3]之間，
即 兩交點(diǎn)都在[0，3]之間，
可知 f（0）≥0，f（3）≥0
f（0）=3-a≥0，a≤3
f（3）=9+6（1-a）+（3-a）=18-7a≥0，a≤，
綜上所述，a的取值范圍（-∞，]
分析：（1）構(gòu)造y=x²+2（1-a）x+3-a，通過(guò)△≥0，f（0）≤0，且f（3）≤0，滿足M?[0，3]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)M⊆[0，3]，通過(guò)f（0）≥0，且f（3）≥0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查集合的運(yùn)算，構(gòu)造法與函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的知識(shí)，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．