Question

（2010•南充一模）函數(shù)f（x）=ax³+（a-1）x²+48（b-3）x+b的圖象關于原點成中心對稱，則f（x）（　　）

• A．在 (-4

  3

  ，4

  3

  )上為增函數(shù)
• B．在(-4

  3

  ，4

  3

  )上不是單調(diào)函數(shù)
• C．在(-∞，-4

  3

  )上為減函數(shù)，在(4

  3

  ，+∞)上為增函數(shù)
• D．在(-∞，-4

  3

  )為增函數(shù)，在(4

  3

  ，+∞)也為增函數(shù)

Answer 1

分析：由題意判斷出f（x）必為奇函數(shù)，由此根據(jù)奇函數(shù)的定義列出方程組，進而求出函數(shù)的解析式，求出導函數(shù)后，分析導函數(shù)在各個區(qū)間上的符號，即可得到答案．

解答：解：由f（x）關于原點中心對稱，即f（x）是奇函數(shù)，
∴

f(0)=0 f(-1)=-f(1)

，解得a=1，b=0，
則f（x）=x³-144x
∴f′（x）=3x²-144=3（x²-48）=3（x-4

3

）（x+4

3

），
令f′（x）＞0，則x＜-4

3

或x＞4

3

令f′（x）＜0，則-4

3

＜x＜4

3

，
∴f（x）在（-4

3

，4

3

）上為減函數(shù)，在（-∞，-4

3

），（4

3

，+∞）上是增函數(shù)，
故選D．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件判斷出函數(shù)為奇函數(shù)，進而求出函數(shù)的解析式，是解答本題的關鍵．