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【題目】已知函數在定義域內有兩個不同的極值點.

（1）求的取值范圍;

（2）設兩個極值點分別為：，，證：.

【答案】（1）.（2）見解析

【解析】

（1）由題得，令，則函數在定義域內有兩個不同的極值點等價于在區(qū)間內至少有兩個不同的零點，再利用導數得到，解不等式即得解；

（2）分析得到要證：，只需證明，即證，不妨設，即證，構造函數構造函數，其中，證明即得證.

（1）由題意可知，的定義域為，

且，

令，

則函數在定義域內有兩個不同的極值點等價于在區(qū)間內至少有兩個不同的零點.

由可知，

當時，恒成立，即函數在上單調，不符合題意，舍去.

當時，由得，，即函數在區(qū)間上單調遞增；

由得，，即函數在區(qū)間上單調遞減；

故要滿足題意，必有，解得.

（2）證明：由（1）可知，，

故要證，

只需證明，

即證，不妨設，即證，

構造函數，其中，

由，

所以函數在區(qū)間內單調遞減，所以得證.

即證.

練習冊系列答案
相關習題

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【題目】在三棱錐，中，平面，，，，為的中點，為的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）在線段上是否存在一點，使平面？若存在，指出點的位置并給出證明，若不存在，說明理由；

（3）若，求二面角的大小.

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【題目】已知函數，

（1）討論在上的單調性.

（2）當時，若在上的最大值為，討論：函數在內的零點個數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在衡陽市“創(chuàng)全國文明城市”（簡稱“創(chuàng)文”）活動中，市教育局對本市A，B，C，D四所高中學校按各校人數分層抽樣，隨機抽查了200人，將調查情況進行整理后制成下表：

學校

A

B

C

D

抽查人數

10

15

100

75

“創(chuàng)文”活動中參與的人數

9

10

80

49

假設每名高中學生是否參與“創(chuàng)文”活動是相互獨立的

（1）若本市共8000名高中學生，估計C學校參與“創(chuàng)文”活動的人數；

（2）在上表中從A，B兩校沒有參與“創(chuàng)文”活動的同學中隨機抽取2人，求恰好A，B兩校各有1人沒有參與“創(chuàng)文”活動的概率；

（3）在隨機抽查的200名高中學生中，進行文明素養(yǎng)綜合素質測評（滿分為100分），得到如上的頻率分布直方圖，其中．求a，b的值，并估計參與測評的學生得分的中位數．（計算結果保留兩位小數）．

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【題目】如圖，是正方形，點在以為直徑的半圓弧上（不與，重合），為線段的中點，現(xiàn)將正方形沿折起，使得平面平面.

（1）證明：平面.

（2）若，當三棱錐的體積最大時，求到平面的距離.

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【題目】2020年1月1日《天津日報》發(fā)表文章總結天津海河英才計劃成果“厚植熱土 讓天下才天津用”——我市精細服務海河英才優(yōu)化引才結構.“海河英才”行動計劃，緊緊圍繞“一基地三區(qū)”定位，聚焦戰(zhàn)略性新興產業(yè)人才需求，大力、大膽集聚人才.政策實施1年半以來，截至2019年11月30日，累計引進各類人才落戶23.5萬人.具體比例如圖所示，新引進兩院院士，長江學者，杰出青年科學基金獲得者等頂尖領軍人才112人.記者李軍計劃從人才庫中隨機選取一部分英才進行跟蹤調查采訪.

（1）李軍抽取了8人其中學歷型人才4人，技能型人才3人，資格型人才1人，周二和周五隨機進行采訪，每天4人（4人順序任意），周五采訪學歷型人才人數不超過2人的概率；

（2）李軍抽取不同類型的人才有不同的采訪補貼，學歷型人才500元/人，技能型人才400元/人，資格型人才600元/人，則創(chuàng)業(yè)型急需型人才最少補貼多少元/人使每名人才平均采訪補貼費用大于等于500元/人？

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是棱AB的中點，動點F是側面ACC1A1（包括邊界）上一點，若EF//平面BCC1B1，則動點F的軌跡是（ ）

A.線段B.圓弧

C.橢圓的一部分D.拋物線的一部分

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【題目】如圖，在正方體中，P，Q，M，N，H，R是各條棱的中點.

①直線平面；②；③P，Q，H，R四點共面；④平面.其中正確的個數為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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【題目】2019年底，武漢發(fā)生“新型冠狀病毒”肺炎疫情，國家衛(wèi)健委緊急部署，從多省調派醫(yī)務工作者前去支援，正值農歷春節(jié)舉家團圓之際，他們成為“最美逆行者”．武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者疑似的新冠肺炎患者無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和確診患者的密切接觸者等“四類”人員，強化網格化管理，不落一戶不漏一人．若在排查期間，某小區(qū)有5人被確認為“確診患者的密切接觸者”，現(xiàn)醫(yī)護人員要對這5人隨機進行逐一“核糖核酸”檢測，只要出現(xiàn)一例陽性，則將該小區(qū)確定為“感染高危小區(qū)”．假設每人被確診的概率均為且相互獨立，若當時，至少檢測了4人該小區(qū)被確定為“感染高危小區(qū)”的概率取得最大值，則____．

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