Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin²x+2cosx•sin（x-

π

3

）+sinxcosx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間
（2）若2f（x）-m+1=0在[

π

6

，

7π

12

]有兩個(gè)相異的實(shí)根，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x-

π

3

），由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，即可解得函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間．
（2）由已知轉(zhuǎn)化為方程f（x）=

m-1

2

兩個(gè)相異的實(shí)根，即y=f（x）圖象與y=

m-1

2

圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，有1≤

m-1

2

＜2，即可解得m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sin²x+2cosx•sin（x-

π

3

）+sinxcosx…2分
=

3

×（

1-cos2x

2

）+2cosx（

1

2

sinx-

3

2

cosx）+sinxcosx
=sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）…4分
∴由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ，得-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z）…6分
（2）2f（x）-m+1=0在[

π

6

，

7π

12

]內(nèi)有兩個(gè)相異的實(shí)根，
f（x）=

m-1

2

兩個(gè)相異的實(shí)根，
即y=f（x）圖象與y=

m-1

2

圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，…8分
結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)1≤

m-1

2

＜2，
解得：m∈[3，5）時(shí)原方程有兩個(gè)相異的實(shí)根，
故m∈[3，5）…13分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．