已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，(a<0)不等式f(x)>－2x的解集為(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的實(shí)根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值為正數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

(1)∵不等式f(x)>－2x的解集為(1,3)，
∴x＝1和x＝3是方程ax2＋(b＋2)x＋c＝0(a<0)的兩根，
∴，∴b＝－4a－2，c＝3a，
又方程f(x)＋6a＝0有兩個相等的實(shí)根．
∴Δ＝b2－4a(c＋6a)＝0，∴4(2a＋1)2－4a×9a＝0.
∴(5a＋1)(1－a)＝0，∴a＝－或a＝1(舍)．
∴a＝－，b＝－，c＝－，
∴f(x)＝－x2－x－.
(2)由(1)知f(x)＝ax2－2(2a＋1)x＋3a
＝a2－＋3a
＝a2＋
∵a<0，
∴f(x)的最大值為，
∵f(x)的最大值為正數(shù)．
∴
∴解得a<－2－或－2＋<a<0.
∴所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪(－2＋，0)．

解析

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（13分）已知的反函數(shù)為．
（1）若函數(shù)在區(qū)間上單增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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（1）求解析式并判斷的奇偶性；
（2）對于（1）中的函數(shù)，若當(dāng)時都有成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)在(－1,1)上有定義，當(dāng)且僅當(dāng)0<x<1時f(x)<0，且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)＋f(y)＝f，試證明：
(1)f(x)為奇函數(shù)；
(2)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減．

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已知9x－10·3x＋9≤0，求函數(shù)y＝x－1－4x＋2的最大值和最小值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知y＝f(x)滿足f(n－1)＝f(n)－lg an－1(n≥2，n∈N)且f(1)＝－lg a，是否存在實(shí)數(shù)α，β，使f(n)＝(αn2＋βn－1)·lg a對任何n∈N*都成立，證明你的結(jié)論

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某工廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實(shí)際出廠單價不能低于51元．
(1)當(dāng)一次訂購量為多少時，零件的實(shí)際出廠單價恰為51元；
(2)設(shè)一次訂購量為x個，零件的實(shí)際出廠單價為P元，寫出函數(shù)P＝f(x)的表達(dá)式；
(3)當(dāng)銷售商一次訂購500個零件時，該廠獲得的利潤是多少？如果訂購1 000個，利潤又是多少？(工廠售出一個零件的利潤＝實(shí)際出廠單價－成本

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（（本題滿分15分）
已知三個函數(shù)其中第二個函數(shù)和第三個函數(shù)中的為同一個常數(shù),且，它們各自的最小值恰好是方程的三個根．
(Ⅰ) 求證:；
(Ⅱ) 設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分14分)
已知奇函數(shù)有最大值, 且, 其中實(shí)數(shù)是正整數(shù).
求的解析式;
令, 證明(是正整數(shù)).

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