Question

9．已知函數(shù)f（x）=e^x（sinx+cosx）．
（1）如果對(duì)于任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）≥kx+e^xcosx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）若x∈[-$\frac{2015π}{2}$，$\frac{2017π}{2}$]，過(guò)點(diǎn)M（$\frac{π-1}{2}$，0）作函數(shù)f（x）的圖象的所有切線，令各切點(diǎn)的橫坐標(biāo)按從小到大構(gòu)成數(shù)列{x_n}，求數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)之和．

Answer 1

分析 （1）由題意可得任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）≥kx+e^xcosx恒成立，只需當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，g（x）_min≥0，求出g′（x），令h（x）=e^x（sinx+cosx），求出導(dǎo)數(shù)，可得h（x）的單調(diào)性，及值域，討論k≤1時(shí)，1＜k＜e${\;}^{\frac{π}{2}}$時(shí)，當(dāng)k≥e${\;}^{\frac{π}{2}}$時(shí)，由單調(diào)性確定最小值，即可得到所求k的范圍；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，e^x₀（sinx₀+cosx₀）），可得切線的斜率和方程，代入M（$\frac{π-1}{2}$，0），可得tanx₀=2（x₀-$\frac{π}{2}$），令y₁=tanx，y₂=2（x-$\frac{π}{2}$），這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）對(duì)稱(chēng)，即可得到所求數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)之和．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x（sinx+cosx），
可得g（x）=f（x）-kx-e^xcosx=e^xsinx-kx，
要使任意的x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）≥kx+e^xcosx恒成立，
只需當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，g（x）_min≥0，g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），則h′（x）=2e^xcosx≥0對(duì)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)恒成立，
∴h（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)，則h（x）∈[1，e${\;}^{\frac{π}{2}}$]，
①當(dāng)k≤1時(shí)，g′（x）≥0恒成立，g（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上為增函數(shù)，
∴g（x）_min≥g（0）=0，∴k≤1滿(mǎn)足題意；
②當(dāng)1＜k＜e${\;}^{\frac{π}{2}}$時(shí)，g′（x）=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有實(shí)根x₀，h（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上是增函數(shù)，
則當(dāng)x∈[0，x₀）時(shí)，g′（x）＜0，∴g（x₀）＜g（0）=0不符合題意；
③當(dāng)k≥e${\;}^{\frac{π}{2}}$時(shí)，g′（x）≤0恒成立，g（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上為減函數(shù)，
∴g（x）＜g（0）=0不符合題意，
∴k≤1，即k∈（-∞，1]；
（2）函數(shù)f（x）=e^x（sinx+cosx），
∴f′（x）=2e^xcosx，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，e^x₀（sinx₀+cosx₀）），
則切線斜率為f′（x₀）=2e^x₀cosx₀，
從而切線方程為y-e^x₀（sinx₀+cosx₀）=2e^x₀cosx₀（x-x₀），
∴-e^x₀（sinx₀+cosx₀）=2e^x₀cosx₀（$\frac{π-1}{2}$-x₀），
即tanx₀=2（x₀-$\frac{π}{2}$），令y₁=tanx，y₂=2（x-$\frac{π}{2}$），
這兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）對(duì)稱(chēng)，
則它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于x=$\frac{π}{2}$對(duì)稱(chēng)，
從而所作的所有切線的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}的項(xiàng)也關(guān)于x=$\frac{π}{2}$成對(duì)出現(xiàn)，
又在[-$\frac{2015π}{2}$，$\frac{2017π}{2}$]內(nèi)共有1008對(duì)，每對(duì)和為π，
∴數(shù)列{x_n}的所有項(xiàng)之和為1008π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查恒成立問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查分類(lèi)討論思想方法和函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性的運(yùn)用，屬于中檔題．