Question

已知f（x）=cos（2x-

π

6

）+cos（2x-

5π

6

）-2cos²x+1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

 ]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角差的余弦公式和二倍角的余弦公式，化簡得f（x）=

2

sin(2x-

π

4

)，再由三角函數(shù)周期公式即可算出f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[-

π

4

，

π

4

 ]算出2x-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

 ]，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出函數(shù)在[-

π

4

，

π

4

 ]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得
f(x)=cos(2x-

π

6

)+cos(2x-

5π

6

)-2cos2x+1
=sin2x-cos2x=

2

sin(2x-

π

4

)
∴T=

2π

2

=π，即f（x）的最小正周期為π；
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

 ]時(shí)，2x∈[-

π

2

，

π

2

 ]，
∴2x-

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

 ]，可得sin(2x-

π

4

)∈[-1，

2

2

 ]
∴f（x）在區(qū)間[-

π

4

，

π

4

 ]上的最大值為1，最小值為-

2

．（12分）

點(diǎn)評：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的最小正周期和閉區(qū)間上的最值．著重考查了三角恒等變換應(yīng)用、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)值域求法等知識，屬于中檔題．