設(shè)直線與雙曲線交于A、B，且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．
2y2－x2＝1(x2<3)．

試題分析：將直線與雙曲線方程聯(lián)立，消去y（或x），得到關(guān)于x的一元二次方程。由題意知方程有兩根，故二次項(xiàng)系數(shù)不為0，且判別式大于0，解出a的范圍，即所求軌跡方程的定義域。根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和，兩根之積（整體計(jì)算比計(jì)算出兩個(gè)根要簡單）。根據(jù)且以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，可得直線AO和直線BO垂直，可利用斜率之積等于列式計(jì)算，但這種情況需對(duì)斜率存在與否進(jìn)行討論。為了省去討論的麻煩可用向量問題來解決。詳見解析。
試題解析： 解：聯(lián)立直線與雙曲線方程得，消去y得：(a2－3)x2＋2abx＋b2＋1＝0.
∵直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，∴⇒a2<3.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1＋x2＝，x1·x2＝.
由⊥得x1x2＋y1y2＝0，又y1·y2＝(ax1＋b)(ax2＋b)＝a2x1x2＋ab(x1＋x2)＋b2，
∴有＋a2·－＋b2＝0.
化簡得：a2－2b2＝－1.故P點(diǎn)(a，b)的軌跡方程為2y2－x2＝1(x2<3)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C:,定點(diǎn)M(0,5),直線與軸交于點(diǎn)F,O為原點(diǎn),若以O(shè)M為直徑的圓恰好過與拋物線C的交點(diǎn).
（1）求拋物線C的方程;
（2）過點(diǎn)M作直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),連AF,BF延長交拋物線分別于,求證: 拋物線C分別過兩點(diǎn)的切線的交點(diǎn)Q在一條定直線上運(yùn)動(dòng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知坐標(biāo)平面內(nèi)：，：.動(dòng)點(diǎn)P與外切與內(nèi)切.
（1）求動(dòng)圓心P的軌跡的方程;
（2）若過D點(diǎn)的斜率為2的直線與曲線交于兩點(diǎn)A、B,求AB的長;
（3）過D的動(dòng)直線與曲線交于A、B兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為M，求M的軌跡方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線與直線相交于A、B 兩點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）當(dāng)的面積等于時(shí),求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

設(shè)橢圓：  的離心率為，點(diǎn)（，0），（0，）原點(diǎn)到直線的距離為。

(1) 求橢圓的方程；
(2) 設(shè)點(diǎn)為（，0），點(diǎn)在橢圓上（與、均不重合），點(diǎn)在直線上，若直線的方程為，且，試求直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知橢圓的方程為，雙曲線的兩條漸近線為、.過橢圓的右焦點(diǎn)作直線，使，又與交于點(diǎn)，設(shè)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為、.

（1）若與的夾角為，且雙曲線的焦距為，求橢圓的方程；
（2）求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.
（1）求橢圓的方程；
（2）拋物線與橢圓有公共焦點(diǎn)，設(shè)與軸交于點(diǎn)，不同的兩點(diǎn)、在 上（、與不重合），且滿足，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為的橢圓過點(diǎn)
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)不過原點(diǎn)O的直線與該橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，滿足直線的斜率依次成等比數(shù)列，
求面積的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

平面上動(dòng)點(diǎn)滿足，，,則一定有（   ）
A．B．
C．D．

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同步練習(xí)冊答案