Question

10．（1）已知a，b為正實(shí)數(shù)．求證：$\frac{{a}^{2}}$+$\frac{^{2}}{a}$≥a+b；
（2）某題字跡有污損，內(nèi)容是“已知|x|≤1，，用分析法證明|x+y|≤|1+xy|”．試分析污損部分的文字內(nèi)容是什么？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）不等式兩邊同乘（a+b），使用基本不等式即可得出結(jié)論；
（2）將結(jié)論兩邊平方即可得出（x²-1）（1-y²）≤0，故只需1-y²≥0即可．

解答 證明：（1）∵a＞0，b＞0，
∴（a+b）（$\frac{{a}^{2}}+\frac{^{2}}{a}$）=a²+b²+$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{^{3}}{a}$≥a²+b²+2ab=（a+b）²．
∴$\frac{a2}$+$\frac{b2}{a}$≥a+b，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立．
（2）污損部分的文字內(nèi)容為“|y|≤1”．理由如下：
要證：|x+y|≤|1+xy|，只需證：（x+y）²≤（1+xy）²，即證：x²+y²≤1+x²y²，
只需證：（x²-1）（1-y²）≤0，
∵|x|≤1，故只需證：1-y²≥0即可．
∴估計(jì)污損部分的文字內(nèi)容為“|y|≤1”．

點(diǎn)評 本題考查了不等式的證明，屬于中檔題．