Question

1．?dāng)?shù)列{a_n}中，a₁=1，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，且對?n≥2，都有$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}{S}_{n}-{S}_{n}^{2}}$=1．則{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{-2}{n（n+1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 先化簡已知的式子，把當(dāng)n≥2時a_n=S_n-S_n-1代入化簡后，由等差數(shù)列的定義判斷出數(shù)列{$\frac{2}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式求出$\frac{2}{{S}_{n}}$和S_n，代入已知的式子求出通項公式a_n，并驗證n=1時是否成立．

解答 解：由題意得，對?n≥2，都有$\frac{2{a}_{n}}{{a}_{n}{S}_{n}-{S}_{n}^{2}}$=1，
∴對?n≥2，都有$2{a}_{n}={a}_{n}{S}_{n}-{{S}_{n}}^{2}$，①
則$2（{S}_{n}-{S}_{n-1}）=（{S}_{n}-{S}_{n-1}）•{S}_{n}-{{S}_{n}}^{2}$，
化簡得，2S_n-2S_n-1=-S_n-1•S_n，
兩邊同除-S_n-1•S_n得，$\frac{2}{{S}_{n}}$-$\frac{2}{{S}_{n-1}}$=1，
又a₁=1，數(shù)列{$\frac{2}{{S}_{n}}$}是以2為首項、1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{2}{{S}_{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，則S_n=$\frac{2}{n+1}$，
代入①得，a_n=$\frac{{{S}_{n}}^{2}}{{S}_{n}-2}$=$\frac{（\frac{2}{n+1}）^{2}}{\frac{-2n}{n+1}}$=$\frac{-2}{n（n+1）}$，
令n=1代入上式得a₁=-1，不適合上式，
則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{-2}{n（n+1）}，n≥2}\end{array}\right.$，
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{-2}{n（n+1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式的化簡以及應(yīng)用，等差數(shù)列的定義、通項公式，以及數(shù)列通項公式與前n項和公式關(guān)系式的靈活應(yīng)用，考查構(gòu)造新的等差數(shù)列求出通項公式，化簡、變形能力．