Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點E，F分別為棱
AB，PD的中點．
（ I）在現有圖形中，找出與AF平行的平面，并給出證明；
（ II）判斷平面PCE與平面PCD是否垂直？若垂直，給出證明；若不垂直，說明理由．

Answer 1

分析：（I）應有平面PEC與AF平行．取PC中點G，連EG，GF，可以證出AEGF為平行四邊形，得出EG∥AF，所以AF∥平面PEC
（II）應有面PCD⊥面PEC．可以通過證明AF⊥PD，AF⊥CD，得出AF⊥面PCD．由（I）EG∥AF，所以EG⊥面PCD，從而命題成立．
還可以利用空間向量法：
以A為原點AB 為X軸、AD為Y軸、AP為Z軸，建立空間坐標系．
（I）通過證明

AF

，

EG

平行，得出EG∥AF，所以AF∥平面PEC
（II）分別求出面PCD，面PEC的一個法向量，利用兩法向量是否垂直判定兩平面是否垂直．

解答：解：（I）平面PEC與AF平行…（1分）
取PC中點G，連EG，GF，
因為F是PD中點，
所以GF

∥ .

.

1

2

CD，
在正方形ABCD中，AE

∥ .

.

1

2

CD，
所以AE

∥ .

.

GF，
所以AEGF為平行四邊形，
所以EG∥AF，所以AF∥平面PEC…（6分）
（II）由PA⊥平面ABCD，所以

PA⊥CD AD⊥CD

⇒CD⊥面PAD，又AF?面PAD，
所以CD⊥AF，又△PAD為等腰直角三角形，F為PD中點，∴AF⊥PD，
∵AF⊥面PCD．由（I）EG∥AF，∴EG⊥面PCD，
 又EG?面PEC，所以，面PCD⊥面PEC…（12分）
（也可用空間向量法）
（I） 以A為原點AB 為X軸、AD為Y軸、AP為Z軸，建立空間坐標系．…（1分）
易求A（0，0，0），F（0，1，1），G（1，1，1），E（1，0，0），
P（0，0，2），D（0，2，0），C（2，2，0）…（3分）

AF

=(0，1，1)，

EG

=(0，1，1)，
所以AF∥面PEG．…（6分）
（II） 設面PCD的法向量為

n

=（x，y，z），由

n

⊥

CD

，

n

⊥

PD

D得x=0，y=z．
令

n

=(0，1，1)，…（8分）
 設面PEC的法向量為

m

=(a，b，c)，
由

m

⊥

EC

，

m

⊥

PE

得c=

1

2

a，b=-

1

2

a，可令

m

=(2，-1，1)…（10分）
因為

n

•

m

=0，所以，面PCD⊥面PEC…（12分）

點評：本題考查空間直線和平面平行，平面和平面垂直的判定．考查空間想象、推理論證能力．利用空間向量的方法，能降低思維難度，思路相對固定，是人們研究解決幾何體問題又一有力工具．