Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．
（I）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（II）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）求出a=-1的f（x），對x討論，當x≤-1時，當-1＜x＜1時，當x≥1時，去掉絕對值，解不等式，最后求并集即可；
（II）運用絕對值不等式的性質(zhì)，可得f（x）的最小值為|a-1|，由不等式恒成立的思想可得|a-1|≥2，解得a即可．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=|x+1|+|x-1|，
由f（x）≥3即|x+1|+|x-1|≥3
當x≤-1時，不等式可化為-x-1+1-x≥3，解得x≤-

3

2

；
當-1＜x＜1時，不等式化為x+1+1-x≥3，不可能成立，即x∈∅；
當x≥1時，不等式化為x+1+x-1≥3，解得x≥

3

2

．
綜上所述，f（x）≥3的解集為（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）；                      
（Ⅱ）由于|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，
則f（x）的最小值為|a-1|．
要使?x∈R，f（x）≥2成立，
則|a-1|≥2，解得a≥3或a≤-1，
即a的取值范圍是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，運用分類討論和絕對值不等式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．