Question

5．F₁，F(xiàn)₂是橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1與雙曲線C₂：的公共焦點(diǎn)，A，B分別是C₁，C₂在第二，四象限的公共點(diǎn)，若四邊形AF₁BF₂為矩形．
（1）求雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；      
（2）求S${\;}_{△{F}_{1}A{F}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）設(shè)|AF₁|=x，|AF₂|=y，利用橢圓的定義，四邊形AF₁BF₂為矩形，可求出x，y的值，進(jìn)而可得雙曲線的幾何量，即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；      
（2）S${\;}_{△{F}_{1}A{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}xy$，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵點(diǎn)A為橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的點(diǎn)，
∴2a=4，b=1，c=$\sqrt{3}$；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=4，即x+y=4；①
又四邊形AF₁BF₂為矩形，∴x²+y²=（2c）²=12，②
由①②解得x=2-$\sqrt{2}$，y=2+$\sqrt{2}$
設(shè)雙曲線C₂的實(shí)軸長為2a′，焦距為2c′，
則2a′=|AF₂|-|AF₁|=y-x=2$\sqrt{2}$，2c′=2$\sqrt{3}$，∴b=1…（5分）
∴雙曲線C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1；  …（8分）
（2）由（1）可得S${\;}_{△{F}_{1}A{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}xy$=1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)，考查三角形面積的計(jì)算，求得|AF₁|與|AF₂|是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．