Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{3-a}）x-1，x≤5\\{a^{x-4}}，x＞5\end{array}\right.（{a＞0，a≠1}）$，數(shù)列{a_n}滿足${a_n}=f（n）（{n∈{N^*}}）$，且{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，3）
• B． （2，3）
• C． $[{\frac{7}{3}，3}）$
• D． $（{1，\frac{7}{3}}]$

Answer 1

分析 數(shù)列a_n滿足a_n=f（n）（n∈N^*），且a_n是遞增數(shù)列，我們易得函數(shù)f（x）為增函數(shù)，根據(jù)分段函數(shù)的性質，我們可得函數(shù)在各段上均為增函數(shù)，根據(jù)一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，我們易得a＞1，且3-a＞0，且f（5）＜f（6），由此構造一個關于參數(shù)a的不等式組，解不等式組即可得到結論．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是遞增數(shù)列，
又∵$f（x）=\left\{\begin{array}{l}（{3-a}）x-1，x≤5\\{a^{x-4}}，x＞5\end{array}\right.（{a＞0，a≠1}）$，
a_n=f（n）（n∈N^*），
∴1＜a＜3且f（5）＜f（6）
∴5（3-a）-1＜a²
解得a＜-7，或a＞2，
故實數(shù)a的取值范圍是（2，3），
故選：B．

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)，其中根據(jù)分段函數(shù)中自變量n∈N^*時，對應數(shù)列為遞增數(shù)列，得到函數(shù)在兩個段上均為增函數(shù)，且f（5）＜f（6），從而構造出關于變量a的不等式是解答本題的關鍵．