Question

若函數(shù)f（x）=-x²+（a+2）x+2+b，log₂f（1）=2，且g（x）=f（x）-2x為偶函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[m，+∞）的最大值為3-3m，求m的值．

Answer 1

分析：（1）利用條件log₂f（1）=2和g（x）=f（x）-2x為偶函數(shù)確定a，b．
（2）利用f（x）在區(qū)間[m，+∞）的最大值為3-3m，確定m的值．

解答：解：（1）因?yàn)閘og₂f（1）=2，所以f（1）=4，即-1+a+2+2+b=4，即a+b=1．
又g（x）=f（x）-2x=-x²+（a+2）x+2+b-2x═-x²+ax+2+b，
因?yàn)間（x）=f（x）-2x為偶函數(shù)，所以a=0，解得b=1．
所以f（x）=-x²+2x+3．
（2）因?yàn)閒（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，對(duì)稱軸為x=1．
當(dāng)m≥1，f(x)max=-m2+2m+3=3-3m，可得m=5．
當(dāng)m＜1，f（x）_max=4=3-3m，可得m=-

1

3

．
綜合得m=5或m=-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．