Question

一動圓與⊙O₁:x²+y²+6x+5=0外切，同時與⊙O₂：x²+y²-6x-91=0內(nèi)切.

（1）求動圓圓心P的軌跡C的方程，并說明軌跡C是什么曲線.

（2）已知點A（-6，0），O₂（3，0）.當點M在曲線C上運動時，求F(M)=3·?+2·+·的最大值和最小值，并指出取得最值時點M的坐標.

Answer 1

解：(1)設(shè)動圓的半徑為R，且圓心為P(x,y).?

⊙O₁:x²+y²+6x+5=0與⊙O₂:x²+y²-6x-91=0的標準方程為⊙O₁:(x+3)²+y²=4,⊙O₂:(x-3)²+y²=

100.

∵動圓P與⊙O₁外切,?

∴｜O₁P｜=R+2.?

∵動圓P與⊙O₂內(nèi)切,?

∴｜O₂P｜=｜10-R｜.?

當R＞10時,｜O₂P｜=R-10,此時｜O₁P｜-｜O₂P｜=12＞｜O₁O₂｜=6,故軌跡不存在；?

當R＜10時,｜O₂P｜=10-R，此時｜O₁P｜+｜O₂P｜=12.                                               ?

∴動點P到點O₁(-3，0)和O₂(3，0)的距離和是常數(shù)12，故點P的軌跡是焦點為O₁(-3，0)和O₂(3，0)，長軸長等于12的橢圓.                                                                  ?

∴2c=6,2a=12.?

∴c=3,a=6.從而b²=a²-c²=27.?

于是得動圓圓心P的軌跡C的方程為?

=1.                                                                                                           ?

(2)設(shè)M(x₀,y₀)，∵A(-6,0),O₂(3,0),則=(-6-x₀,-y₀), =(9,0),

=(x₀-3,y₀),?

∴·=9(6+x₀)+ ·=9(3-x₀), ·=(x₀-3)(6+x₀)+y₀².?

由f(M)=3·+2·+·=x₀²+y₀²+12x₀+198.                  ?

當M在曲線C上時，則y₀²=27(1-)=27-x₀²,??

f(M)=x₀²+y₀²+12x₀+198=x₀²+(27-x₀²)+12x₀+198?

=x₀²+12x₀+225=(x₀²+48x₀)+198?

=(x₀+24)²+81,?

∵x₀∈［-6,6］,?

∴當x₀=-6，即M(-6,0)時,f(M)取得最小值162；?

當x₀=6，即M(6,0)時，f(M)取得最大值306.