Question

7．已知函數(shù)$y=\frac{1}{3}{x^3}-3x+m$的圖象與x軸恰有兩個公共點，則m=（　�。�

• A． -1或2
• B． -9或3
• C． -1或1
• D． -$2\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求導，令y′=0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得函數(shù)的極值點，由題意可知極大值等于0或極小值等于0，即可求得m的值．

解答 解：由函數(shù)$y=\frac{1}{3}{x^3}-3x+m$，求導y′=x²-3，令y′=0，解得：x=±$\sqrt{3}$，
令y′＞0，解得x＞$\sqrt{3}$或x＜-$\sqrt{3}$；令y′＜0，可得-$\sqrt{3}$＜x＜$\sqrt{3}$；
∴函數(shù)在（-∞，-$\sqrt{3}$），（$\sqrt{3}$，+∞）上單調(diào)增，（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）上單調(diào)減，
∴函數(shù)在x=-$\sqrt{3}$處取得極大值，在x=$\sqrt{3}$處取得極小值，
∴函數(shù)$y=\frac{1}{3}{x^3}-3x+m$的圖象與x軸恰有兩個公共點，
∴極大值等于0或極小值等于0，
$\frac{1}{3}$（-$\sqrt{3}$）³-3（-$\sqrt{3}$）+m=0或$\frac{1}{3}$（$\sqrt{3}$）³-3（$\sqrt{3}$）+m=0，
解得：m=2$\sqrt{3}$或m=-2$\sqrt{3}$，
∴m的取值為-2$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$，
故選D．

點評 本題考查導數(shù)的綜合利用，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性及極值，考查計算能力，屬于中檔題．