Question

【題目】設(shè)不等式x2﹣2ax+a+2≤0的解集為M，若M[1，4]，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

【答案】解：M[1，4]有兩種情況：其一是M=，此時△＜0；其二是M≠，此時△=0或△＞0，
分三種情況計(jì)算a的取值范圍．
設(shè)f （x）=x2﹣2ax+a+2，有△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=4（a2﹣a﹣2）．
（1）當(dāng)△＜0時，﹣1＜a＜2，M=[1，4]．
（2）當(dāng)△=0時，a=﹣1或2．
當(dāng)a=﹣1時，M={﹣1}[1，4]，故舍去．
當(dāng)a=2時，M={2}[1，4]．
（3）當(dāng)△＞0時，有a＜﹣1或a＞2．
設(shè)方程f （x）=0的兩根為x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ，
那么M=[x1 ， x2]，由M[1，4]可得 1≤x1＜x2≤4，故應(yīng)有f（1）≥0，f（4）≥0，
且f （x）=0的對稱軸x=a∈[1，4]，即，
∴，解得2＜a≤．
綜上可得，M[1，4]時，a的取值范圍是 （﹣1，]．
【解析】M[1，4]有兩種情況：其一是M=，此時△＜0；其二是M≠，此時△=0或△＞0，分三種情況計(jì)算a的取值范圍，再取并集，即得所求．